Question

有下列命题：
①存在α∈（0，

π

2

），使sinα+cosα=

1

3

；
②存在区间（a，b），使y=cosx为减函数而sinx＜0；
③y=tanx在其定义域内为增函数；
④若|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|，则

a

⊥

b

；
⑤已知P为△ABC的外心，若

PA

+

PB

+

PC

=

0

，则△ABC为正三角形；
⑥

a

，

b

，

c

互不共线，则（

a

•

b

）•

c

-（

c

•

a

）•

b

=0．
以上命题错误的为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：应用题

分析：①由单位圆中三角函数线知为错误命题；
②由函数y=cosx减区间为[2kπ，2kπ+π]，而此时sinx≥0；
③取x₁=0，x₂=π，x₁＜x₂，但y₁=y₂，不符合增函数的定义；
④将|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|两边平方并整理可得2

a

•

b

=-2|

a

||

b

|，cosθ=-1，θ=π，

a

，

b

为反向向量，
⑤若

PA

+

PB

+

PC

=

0

，P为△ABC的重心，结合P为△ABC的外心，得出三角形边上的中线与垂直平分线都重合，△ABC为正三角形；
⑥向量数量积的运算不符合结合律．

解答： 解：①当α∈（0，

π

2

）时，由单位圆中三角函数线知sinα+cosα＞1，
所以不存在α∈（0，

π

2

），使sinα+cosα=

1

3

；①错误
②由函数y=cosx减区间为[2kπ，2kπ+π]，而此时sinx≥0，
所以不存在区间（a，b），使y=cosx为减函数而sinx＜0；②错误
③取x₁=0，x₂=π，x₁＜x₂，但y₁=y₂，不符合增函数的定义；③错误
④由已知，|

a

|≥|

b

|，将|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|两边平方，

a

²+

b

²+2

a

•

b

=|

a

|²+|

b

|²-2|

a

||

b

|，
2

a

•

b

=-2|

a

||

b

|，cosθ=-1，θ=π，

a

，

b

为反向向量，④错误
⑤若

PA

+

PB

+

PC

=

0

，则P为△ABC的重心，又P为△ABC的外心，所以三角形边上的中线与垂直平分线都重合，△ABC三边两两相等，所以△ABC为正三角形；⑤正确
⑥向量数量积的运算不符合结合律，（

a

•

b

）•

c

≠（

c

•

a

）•

b

=0．⑥错误
综上所述以上命题错误的为：①②③④⑥
故答案为：①②③④⑥

点评：本题考查命题真假的判断，考查了函数的单调性，向量运算及几何意义等．