Question

设f（x）=2x³+ax²+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=-

1

2

对称，且函数f（x）在x=1处取得极值．
（I）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b，
（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间．

解答： （ I）求导得：f'（x）=6x²+2ax+b
依题意有：

- 2a 12 =- 1 2 f′(1)=6+2a+b=0

，
解得：a=3，b=-12
（ II）由（ I）可得：f'（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2）
令f'（x）＞0得：x＞1或x＜-2
令f'（x）＜0得：-2＜x＜1
综上：函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（1，+∞），单调递减区间是（-2，1）

点评：本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．