Question

如图，在三棱锥A-BOC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=OC=2，E，F分别是棱AB，AC的中点．
（1）求证：AC⊥平面BOF；
（2）过EF作平面与棱OA，OB，OC或其延长线分别交于点A₁，B₁，C₁，已知OA₁=

3

2

，求直线OC₁与平面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件得OB⊥平面AOC，从而AC⊥OB，又AC⊥OF，由此能证明AC⊥平面BOF．
（2）过点O作OP⊥A₁B₁于点P，连接PC₁，由已知得OC⊥A₁B₁，A₁B₁⊥平面POC₁，过点O作OH⊥PC₁于H，由已知得∠PC₁O就是直线OC₁与平面A₁B₁C₁所成的角．过点F作FD⊥OC₁于D，由此能求出直线OC₁与平面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

解答： （1）证明：因为OB⊥OA，OB⊥OC，OA∩OC=O，
所以OB⊥平面AOC．
因为AC?平面AOC，所以AC⊥OB
因为OA=OC，F是AC的中点，所以AC⊥OF，
又OB∩OF=O，所以AC⊥平面BOF．（5分）
（2）解：过点O作OP⊥A₁B₁于点P，连接PC₁．
已知OC⊥平面AOB，又OP?平面AOB，A₁B₁?平面AOB，
所以OC⊥OP，OC⊥A₁B₁．
因为OP⊥A₁B₁，OP∩OC=O，
所以A₁B₁⊥平面POC，即A₁B₁⊥平面POC₁，
过点O作OH⊥PC₁于H，因为OH?平面POC₁，
所以A₁B₁⊥OH，又A₁B₁∩PC₁=P，所以OH⊥平面A₁B₁C₁，
所以∠PC₁O就是直线OC₁与平面A₁B₁C₁所成的角．
因为OA=OB=OC=2，OA1=

3

2

，
过点F作FD⊥OC₁于D，
设CC₁=t，由

FD

OA1

=

DC1

OC1

得

1

3 2

=

1+t

2+t

，
所以t=1，即OC₁=3，同理OB₁=3（11分）
在Rt△A₁OB₁中，OP=

OA1•OB1

A1B1

=

3 2 ×3

9 4 +9

=

3

5

，
在Rt△POC₁中，PC1=

O C 2 1 +OP2

=

9+ 9 5

=

3 6

5

，
所以sin∠PC1O=

OP

PC1

=

3 5

3 6 5

=

6

6

，
即直线OC₁与平面A₁B₁C₁所成角的正弦值为

6

6

．（15分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．