Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为，

x=2+tcosa y=1+tsina

（t是参数0≤a＜x）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ²=

2

1+cos2θ

（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）当α=

π

4

时，曲线C₁和C₂相交于M、N两点，求以线段MN为直径的圆的直角坐标方程．

Answer 1

考点：圆的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得曲线C₂的直角坐标方程；
（2）联立C₁，C₂的方程消去y得3x²-2x-1=0，求出|MN|，圆心，即可得到以线段MN为直径的圆的直角坐标方程．

解答： 解：（1）对于曲线C₁消去参数t得：
当α≠

π

2

时，y-1=tanα（x-2）；当α=

π

2

时，x=2．（3分）
对于曲线C₂：ρ²+ρ²cos²θ=2，∴x²+y²+x²=2，则x²+

y2

2

=1．（5分）
（2）当α=

π

4

时，曲线C₁的方程为x-y-1=0，联立C₁，C₂的方程消去y得3x²-2x-1=0，
∴|MN|=

2

×

( 2 3 )2+ 4 3

=

4 2

3

，圆心为（

1

3

，-

2

3

），
从而所求圆方程为（x-

1

3

）²+（y+

2

3

）²=

8

9

．（10分）

点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系等基本方法，属于基础题．