Question

已知奇函数f（x）=

-x2+4x ， x＞0 0， x=0 x2+mx ， x＜0

．
（1）求实数m的值；
（2）画出函数y=f（x）的图象，根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上是单调函数，试确定a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性建立条件关系，即可求实数m的值；
（2）画出函数y=f（x）的图象，根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
（3）根据函数的图象，利用函数f（x）在区间[-1，a-2]上是单调函数，即可确定a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＞0时，-x＜0，则f（-x）=x²-mx=-f（x），
即x²-mx=x²-4x，
则m=4；
（2）∵f（x）=

-x2+4x， x＞0 0， x=0 x2+4x， x＜0

，
∴对应的图象如图：
则由图象可知函数的增区间：（-2，2），减区间（-∞，-2），（2，+∞）；
（3）∵-2＜-1，
∴若函数f（x）在区间[-1，a-2]上是单调函数，
则函数f（x）在区间[-1，a-2]上只能是单增调函数，
则满足-1＜a-2≤2，
即1＜a≤4，
故a的取值范围是（1，4]．

点评：本题主要考查分段函数的图象和性质，利用函数的奇偶性的性质求出m是解决本题的关键．