Question

已知函数f(x)=

-6+ex-1，x＜t x2-4x，x≥t

，方程f（x）=x-6恰有三个不同的实数根，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（1，2）
• B、[1，2]
• C、[1，2）
• D、（1，2]

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：方程f（x）=-6+e^x-1=x-6有且只有一个实数根，f（x）=x²-4x，x²-4x=x-6⇒x=2或x=3，故当x＜t时，f（x）=x-6有一个实数根；x≥t时方程f（x）=x-6有两个不同实数根，即可得出结论．

解答： 解：f（x）=-6+e^x-1求导f'（x）=e^x-1，令f'（x）=e^x-1=1，则x=1，f（1）=-5
∴f（x）=-6+e^x-1在点（1，-5）处的切线方程为y=x-6
方程f（x）=-6+e^x-1=x-6有且只有一个实数根
若f（x）=x²-4x，x²-4x=x-6⇒x=2或x=3
故当x＜t时，f（x）=x-6有一个实数根；x≥t时方程f（x）=x-6有两个不同实数根
∴1＜t≤2，
故选：D．

点评：本题考查分段函数的应用，考查根的存在性及根的个数判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．