Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₄-1）³+2013（a₄-1）=1，（a₂₀₁₀-1）³+2013（a₂₀₁₀-1）=-1，则下列结论中正确的是（　　）

• A、S₂₀₁₃=2013，a₂₀₁₀＜a₄
• B、S₂₀₁₃=2013，a₂₀₁₀＞a₄
• C、S₂₀₁₃=2012，a₂₀₁₀≤a₄
• D、S₂₀₁₃=2012，a₂₀₁₀≥a₄

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意构造函数f（x）=x³+2013x，求出f′（x），判断出函数f（x）为单调递增函数且为奇函数，由已知的两等式得到f（a₄-1）=1及f（a₂₀₁₀-1）=-1，由f（x）为奇函数得到f（1-a₂₀₁₀）=1，由函数的单调性得到a₄-1与1-a₂₀₁₀相等即a₄+a₂₀₁₀=2，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出S₂₀₁₃，根据等差数列的性质化简后，将a₄+a₂₀₁₀=2代入即可求出值，再根据单调性判断出a₄＞a₂₀₁₀．

解答： 解：令f（x）=x³+2013x，则f′（x）=3x²+2013＞0，
得到f（x）在R上单调递增，且f（x）为奇函数．
由条件，有f（a₄-1）=1，f（a₂₀₁₀-1）=-1，即f（1-a₂₀₁₀）=1．
∴a₄-1=1-a₂₀₁₀，从而a₄+a₂₀₁₀=2，
则S2013=

2013(a1+a2013)

2

=

2013(a4+a2010)

2

=2013，
∵f（a₄-1）=1，f（a₂₀₁₀-1）=-1，f（x）在R上单调递增，
∴a₄-1＞a₂₀₁₀-1，即a₄＞a₂₀₁₀，
故选：A．

点评：本题考查灵活运用等差数列的性质及前n项和的公式化简求值，函数的单调性与导数的关系，考查了构造函数、利用函数思想解决实际问题的能力，是一道中档题．