Question

已知抛物线C：y=2x²，直线y=kx+2（k＞0）交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．
（Ⅰ）若k=2，求N点的坐标；
（Ⅱ）是否存在以AB为直径的圆经过点N，若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设A(x1，2

x

2 1

)，B(x2，2

x

2 2

)，把y=2x+2代入y=2x²，得x²-x-1=0，由此能求出N点的坐标．
（Ⅱ）假设存在以为AB直径的圆过点N．则有

NA

•

NB

=0把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0．由韦达定理得N点的坐标为(

k

4

，

k2

8

)．

NA

•

NB

=0，得k=2，再椭圆弦长公式能求出圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）如图，设A(x1，2

x

2 1

)，B(x2，2

x

2 2

)，
把y=2x+2代入y=2x²，得x²-x-1=0．…（1分）
由韦达定理得x₁+x₂=1． …（2分）
∴xM=

1

2

，…（3分）
N点的坐标为(

1

2

，

1

2

)．…（5分）
（Ⅱ）假设存在以AB为直径的圆过点N．则有

NA

•

NB

=0
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0．
由韦达定理得x1+x2=

k

2

，x1x2=-1．…（6分）
∴xN=xM=

x1+x2

2

=

k

4

，∴N点的坐标为(

k

4

，

k2

8

)． …（7分）

NA

=(x1-

k

4

，2

x

2 1

-

k2

8

)，

NB

=(x2-

k

4

，2

x

2 2

-

k2

8

)，
则

NA

•

NB

=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)+(2

x

2 1

-

k2

8

)(2

x

2 2

-

k2

8

)
=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)+4(

x

2 1

-

k2

16

)(

x

2 2

-

k2

16

)
=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)[1+4(x1+

k

4

)(x2+

k

4

)]
=(-1-

k2

16

)(-3+

3

4

k2)=0，…（8分）
∵-1-

k2

16

＜0，∴-3+

3

4

k2=0，解得k=2．…（9分）
则圆心M点的坐标为（

1

2

，3），…（10分）
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

5

=5=2R…（11分）
∴圆的方程为(x-

1

2

)2+(y-3)2=

25

4

．…（12分）

点评：本题考查点的坐标的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．