Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求函数g（x）=（log_ax）²-log_ax²-2b在x∈[

1

2

，4]上的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由f（0）=0，求出b的值；由f（-x）+f（x）=0，求出a的值；
（Ⅱ）化简函数g（x），利用二次函数的图象与性质求出它在闭区间上的最值，即得值域．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意得，
f（0）=0，即

-20+b

21+a

=0，
∴b=1；
∴f（x）=

-2x+1

2x+1+a

=

-2x+1

2•2x+a

，
f（-x）=

-2-x+1

2-x+1+a

=

-1+2x

2+a•2x

，
且f（-x）+f（x）=0，
∴a=2；
综上，a=2，b=1；
（Ⅱ）∵g（x）=(log2x)2-2log₂x-2
=(log2x-1)2-3；
∴x∈[

1

2

，4]时，log₂x∈[-1，2]，
∴(log2x-1)2∈[0，4]，
∴-3≤(log2x-1)2-3≤1；
∴g（x）的值域是[-3，1]．

点评：本题考查了函数的奇偶性以及函数在某一闭区间上的最值问题，解题时应根据函数的图象与性质进行解答，是综合题．