Question

在等差数列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，记数列{

1

an

}的前n项和为S_n，
（Ⅰ）数列{a_n}的通项a_n=

 

；
（Ⅱ）若S_2n+1-S_n≤

m

15

对n∈N^*恒成立，则正整数m的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得

a1+d=5 a1+5d=21

，由此能求出a_n=4n-3．
（Ⅱ）

1

an

=

1

4n-3

，由已知条件推导出（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）＞0，从而数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为S₃-S₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

，

14

45

≤

m

15

，由此求出m的最小值为5．

解答： 解：（Ⅰ）∵在等差数列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，
∴

a1+d=5 a1+5d=21

，解得a₁=1，d=4，
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
故答案为：4n-3．
（Ⅱ）∵

1

an

=

1

4n-3

，
∴（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n+1

）-（

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+3

）
=

1

an+1

-

1

a2n+2

-

1

a2n+3

=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为S₃-S₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∵

14

45

≤

m

15

，∴m≥

14

3

，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为5．
故答案为：5．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数列的单调性的合理运用．