Question

如图，A是两条平行直线之间的一定点，且点A到两条平行直线的距离分别为AM=1，AN=

3

．设△ABC，AC⊥AB，且顶点B、C分别在两条平行直线上运动，则△ABC面积的最小值为

 

，

1

AB

+

3

AC

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：三角函数的图像与性质

分析：要求△ABC的面积，想着先求AB，AC，根据条件设∠MAB=θ，则∠CAN=

π

2

-θ，AB=

1

cosθ

，AC=

3

sinθ

，从而便能求出S_△ABC=

3

2sinθcosθ

=

3

sin2θ

，所以sin2θ=1时面积最小．将AB，AC分别带入

1

AB

+

3

AC

即可求得最大值．

解答： 解：设∠MAB=θ（0＜θ＜

π

2

）则：∠CAN=

π

2

-θ，AB=

1

cosθ

，AC=

3

cos( π 2 -θ)

=

3

sinθ

；
∴S△ABC=

1

2

•

1

cosθ

•

3

sinθ

=

3

sin2θ

≥

3

；
当sin2θ=1，θ=

π

4

时取等号．
∴△ABC面积的最小值为：

3

．

1

AB

+

3

AC

=cosθ+sinθ=

2

sin(θ+

π

4

)≤

2

；
当θ+

π

4

=

π

2

，θ=

π

4

时取等号．
∴

1

AB

+

3

AC

的最大值为：

2

．
故答案为：

3

，

2

．

点评：设∠MAB=θ，并将AB，AC表示出来是求解本题的关键．本题考查直角三角形边和角的关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的最大值．