Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）求证：PE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求直线BM与CD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件得PE⊥AD，由此能证明PE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连结EC，取EC中点H，连结MH，HB，由（Ⅰ）知PE⊥平面ABCD，由已知条件推导出∠MBH为BM与平面ABCD所成的角，由此能求出直线BM与平面ABCD所成角的正切值．
（Ⅲ）由CD∥BE，知直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角，由此能求出直线BM与CD所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面 ABCD．
（Ⅱ）解：连结EC，取EC中点H，连结MH，HB，
∵M是PC的中点，H是EC的中点，∴MH=PE，
由（Ⅰ）知PE⊥平面ABCD，
∴MH⊥平面ABCD，
∴HB是BM在平面ABCD内的射影，
∴∠MBH为BM与平面ABCD所成的角，
∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，E为AD的中点，∠ADC=90°，
∴四边形BCDE为矩形，∴EC=2，HB=

1

2

EC=1，
又∵MH=

1

2

PE=

3

2

，
∴△MHB中，tan∠MBH=

MH

HB

=

3

2

，
∴直线BM与平面ABCD所成角的正切值为

3

2

．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知CD∥BE，
∴直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角，
连接ME，Rt△MHE中，ME=

7

2

，
Rt△MHB中，BM=

7

2

，又BE=CD=

3

，
∴△MEB中，cos∠MBE=

BM2+BE2-ME2

2BM•BE

=

7 4 +3- 7 4

2× 7 2 × 3

=

21

7

，
∴直线BM与CD所成角的余弦值为

21

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．