Question

下列命题中：
①

a

•（

b

-

c

）=

a

•

b

-

a

•

c

；
②

a

•（

b

•

c

）=（

a

•

b

）•

c

；
③（

a

-

b

）²=|

a

|²-2|

a

|•|

b

|+|

b

|²；
④若

a

•

b

=0，则

a

=0或

b

=0；
⑤若

a

•

b

=

c

•

b

，则

a

=

c

；
⑥|

a

|²=

a

²；
⑦

a • b

a 2

=

b

a

；
⑧（

a

•

b

）²=

a

²•

b

²；
⑨（

a

-

b

）²=

a

²-2

a

•

b

+

b

²．
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据平面向量数量积的定义与运算性质，对每一个命题进行分析与判定，即可得出正确的结论．

解答： 解：对于①，根据平面向量数量积的运算律，得分配律成立，∴命题正确；
对于②，根据平面向量数量积的运算律，得结合律不成立，∴命题错误；
对于③，（

a

-

b

）²=|

a

|²-2|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞+|

b

|²，∴命题错误；
对于④，当

a

•

b

=0时，

a

=

0

，或

b

=

0

，或

a

⊥

b

，∴命题错误；
对于⑤，当

a

•

b

=

c

•

b

时，（

a

-

c

）•

b

=0，∴

a

-

c

=

0

，或

b

=

0

，或（

a

-

c

）⊥

b

，∴命题错误；
对于⑥，|

a

|²=|

a

|×|

a

|=|

a

|×|

a

|×cos0°=

a

²，∴命题正确；
对于⑦，

a • b

a 2

=

| a |×| b |cos＜ a ， b ＞

| a |×| a |

=

| b |cos＜ a ， b ＞

| a |

≠

b

a

，∴命题错误；
对于⑧，（

a

•

b

）²=|

a

|2×|

b

|2×cos²＜

a

，

b

＞≠|

a

|2×|

b

|2=

a

²•

b

²，∴命题错误；
对于⑨，（

a

-

b

）²=（

a

-

b

）•（

a

-

b

）=

a

²-2

a

•

b

+

b

²，∴命题正确．
综上，正确的命题是①⑥⑨．
故答案为：①⑥⑨．

点评：本题通过命题真假的判定，综合考查了平面向量数量积的定义与运算性质的应用问题，是基础知识的综合应用问题．