Question

已知函数f（x）=-

x2

2

+x在区间[m，n]上的值域是[3m，3n]，则m-n=

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：对m和n的范围进行分类讨论，并根据函数的单调性表示出函数的最大值和最小值建立等式求得m和n．

解答： 解：①当m＜n≤1时，函数在区间[m，n]上单调增，
则

f(m)=- m2 2 +m=3m f(n)=- n2 2 +n=3n

，求得m=-4，n=0．
②当1＜m＜n时，
f（x）在[m，n]上递减，且f（x）＜

1

2

值域为[3m，3n]，
  3n＜

1

2

，矛盾
③m≤1＜n时，
f（x）_max=

1

2

，
若值域为[3m，3n]，
 则3n=

1

2

，n=

1

6

与n＞1矛盾
综上，符合条件的m，n的值为
m=-4，n=0，
∴m-n=-4，
故答案为：-4

点评：本题主要考查了二次函数的性质和分类讨论思想的运用．应能熟练掌握二次函数求最值的方法．