Question

设正四面体ABCD的棱长为a，P是棱AB上的任意一点，且P到面ACD，BCD的距离分别为d₁，d₂，则d₁+d₂=

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：求得四面体的高，利用V_P-BCD+V_P-ACD=V_A-BCD，代入棱锥的体积公式可得d₁+d₂的值．

解答： 解：如图AO⊥平面BCD，OB=

2

3

×

3

2

×a=

3

3

a，∴AO=

a2-( 3 3 a)2

=

6

3

a，
V_P-BCD+V_P-ACD=V_A-BCD，
在正四面体中，S_△BCD=S_△ACD，
∴

1

3

×S_△BCD×AO=

1

3

×S_△BCD×d₁+

1

3

×S_△ACD×d₂，
∴d₁+d₂=

6

3

a．

故答案为：

6

3

a；

点评：本题考查了棱锥的体积公式及正四面体的结构特征，熟练掌握正四面体的结构性质是解题的关键．