Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²+（1-a）x-lnx（a＞-1）；
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，求实数a的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）由函数的解析式求出函数的定义域，再利用导数的符号求出函数的单调区间．
（Ⅱ）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，等价于f（x）_min＜0．分当a≥0时和当-l＜a＜0时，两种情况，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：（I）函数定义域为（0，+∞），f′(x)=ax+1-a-

1

x

=

(ax+1)(x-1)

x

，
当a≥0时，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+

故f（x）在（0，1）上递减，（1，+∞）上递增．
当-1＜a＜0时，f′(x)=

(ax+1)(x-1)

x

=

-a

x

(x+

1

a

)(x-1)，

x	（0，1）	1	(1，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，+∞)
f′（x）	-	0	-	0	-

即f（x）在（0，1），(-

1

a

，+∞)递减，在(1，-

1

a

)上递增．
（Ⅱ）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，等价于f（x）_min＜0．
当a≥0时，f(x)min=f(1)=

a

2

+1-a＜0⇒a＞2，
当-l＜a＜0时，当x→+∞时，

1

2

ax2+(1-a)x→-∞，-lnx→-∞，
则f（x）→-∞，显然存在x₀，使f（x₀）＜0，
综上，a∈（-1，0）∪（2，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，属于基础题．