Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥AB，点E、F分别是棱AD、BC的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥PD；
（Ⅱ）若AB=AP，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）若△PAD的面积为1，在四棱锥P-ABCD内部，放入一个半径为R的球O，且球心O在截面PEF中，试探究R的最大值，并说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,球的体积和表面积,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明AB⊥平面PAD，可得AB⊥PD；
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面PBD的一个法向量、平面PAD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）求出△PEF的内切圆半径的最大值，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB⊥AD，AB⊥PA，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD；
（Ⅱ）解：连接PE，EF，则
∵点E、F分别是棱AD、BC的中点，
∴PE⊥AD，EF∥AB，
∵AB⊥平面PAD，
∴EF⊥平面PAD，
∴EF⊥AD，EF⊥PE，
建立如图所示的坐标系，设AB=2，则A（1，0，0），D（-1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0）F（0，2，0），P（0，0，

3

），

∴

PB

=（1，2，-

3

），

PC

=（-1，2，-

3

），
平面PAD的一个法向量为

AB

=（0，2，0），
设平面PBD的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

x+2y- 3 z=0 -x+2y- 3 z=0

，
∴

n

=（0，

3

，2），
∴cos＜

AB

，

n

＞=

3

7

=

21

7

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知截面△PEF为直角三角形，
∴S_△PEF=

1

2

EF•EP=

1

2

AD•EP=S_△PAD=1，
∴EF•EP=2．
设△PEF的内切圆半径为r，则S_△PEF=

1

2

（PE+EF+FP）=1，
∴r=

2

PE+EF+PF

≤

2

2 EF•EP + 2EF•EP

=

2

-1，
当且仅当EF=EP时，△PEF有最大内切圆，半径为

2

-1，此时EF=EP=

2

，PF=2，
S_△PAB=S_△PCD=

5

2

S_△PBC=

1

2

BC•PF=

2

，S_△PAD=1，S_ABCD=AD•EF=2，
设△PEF的内切圆圆心O到侧面PAB，侧面PCD的距离为d，则
V_P-ABCD=

1

3

r（S_△PAD+S_△PBC+S_ABCD）+

1

3

d•S△PAB+

1

3

d•S△PCD=

1

3

EP•SABCD，
∴（

2

-1）（1+2+

2

）+

5

d=2

2

，
∴d=

1

5

＞

2

-1=r，
∴，在四棱锥P-ABCD内部，放入一个半径为R的球O，且球心O在截面PEF中，R的最大值为

2

-1．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，有难度．