Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），直线过点A（-2，-4），且倾斜角为45°．
（Ⅰ）若直线与抛物线交于M，N两点，且有|MN|²=|AM|•|AN|，求抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在实数p，使得抛物线上存在关于直线对称的不同的两点，若存在，求出p的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直线的方程为y+4=x+2，即x-y-2=0，与抛物线联立，利用韦达定理，结合|MN|²=|AM|•|AN|，求抛物线的方程；
（Ⅱ）假设存在p，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是抛物线上关于对称的两点，线段PQ的中点为G（x₀，y₀）．求出PQ的方程为y=-x+m，与抛物线联立，利用韦达定理即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）直线的方程为y+4=x+2，即x-y-2=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为方程组

y2=2px x-y-2=0

的解．
化简得y²-2py-4p=0．
∴y₁+y₂=2p，y₁y₂=-4p．|MN|²=2（y₂-y₁）²=8p（p+4）
∴|AM|•|AN|=

2

|y1+4|•

2

|y2+4|=2|y1y2+4(y1+y2)+16|=8(p+4)．
∴8p（p+4）=8（p+4）．∵p＞0，∴p=1．
∴所求抛物线方程为y²=2x．
（Ⅱ）假设存在p，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是抛物线上关于对称的两点，线段PQ的中点为G（x₀，y₀）．
PQ垂直直线，故PQ的方程为y=-x+m．
由

y=-x+m y2=2px

得y²+2py-2pm=0．
∴y₁+y₂=-2p，于是y₀=-p．∴x₀=m+p．
∵点G在直线上，故有m+p-（-p）-2=0．
∴m=2-2p．y²+2py-2p（2-2p）=0．
由△=4p²+8p（2-2p）＞0，即3p²-4p＜0，解得0＜p＜

4

3

．
∴当0＜p＜

4

3

时，抛物线y²=2px上存在关于直线对称的两点．

点评：本题考查满足条件的直线是否存在的判断，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．