Question

如图O是△ABC内的一点，且

OA

+k•

OB

+t•

OC

=

0

，（k，t∈R）

（Ⅰ）若O是△ABC的重心，写出k，t的值；
（Ⅱ）若O是△ABC的外心，且k=

3

，t=

6

，求cos∠AOB的值；
（Ⅲ）若O是△ABC的外心，且AB=2，AC=3，求

OA

•

BC

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）因为O是△ABC的重心，所以k=t=1；
（Ⅱ）若O是△ABC的外心，则|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，又因为

OA

+

3

OB

+

6

OC

=

O

，所以

OA

+

3

OB

=-

6

OC

，两边平方即可求出cos∠AOB的值；
（Ⅲ）取BC中点为D，连接OD，AD，因为O为△ABC的外心，所以OD⊥BC，进而求出

OA

•

BC

的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为O是△ABC的重心，
所以k=t=1；
（Ⅱ）若O是△ABC的外心，
则|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，
又因为

OA

+

3

OB

+

6

OC

=

O

，
所以

OA

+

3

OB

=-

6

OC

，
两边平方可得，1+3+2

3

cos∠AOB=6，
即cos∠AOB=

3

3

；
（Ⅲ）取BC中点为D，连接OD，AD，
因为O为△ABC的外心，
所以OD⊥BC，

OA

•

BC

=（

OD

+

DA

）•

BC

=

DA

•

BC

=-

1

2

（

AB

+

AC

）•（

AC

-

AB

）
=-

1

2

（

AC

²-

AB

²）
=-

5

2

．

点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义以及性质的应用，考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．