Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asinC+

3

ccos（B+C）=0．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a+b+c=3，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出tan的值，即可求出A的度数；
（Ⅱ）由A的度数，求出sinA与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，将a=3-b-c，cosA的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA，
∴将asinC+

3

ccos（B+C）=0，利用正弦定理得：sinAsinC-

3

sinCcosA=0，
又sinC≠0，
∴sinA-

3

cosA=0，即tanA=

3

，
则A=60°；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=

1

2

，sinA=

3

2

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
由a+b+c=3，得到a=3-b-c，
代入得：（3-b-c）²=b²+c²-bc，即9-6（b+c）+b²+c²+2bc=b²+c²-bc，
整理得：b+c=

3+bc

2

≥2bc，即bc≤1，
∴△ABC的面积为S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
则△ABC的面积的最大值为

3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．