Question

如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．
（1）求证：EA⊥EC；
（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．若EF=1，求二面角D-EC-B的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用面面垂直的性质，可得BC⊥平面ABE，再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE，即可证得结论；
（2）以A为原点，AB、AD所在直线为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的正切值．

解答： （1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD
∴BC⊥平面ABE
∵AE?平面ABE，∴BC⊥AE
∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE
∵BE∩BC=B，BC，BE?面BCE
∴AE⊥面BCE
∵CE?面BCE，∴EA⊥EC
（2）
以A为原点，AB、AD所在直线为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，1），E（

3

2

，

3

2

，0），
B（0，2，0），C（0，2，1），
有（1）知，

AE

=（

3

2

，

3

2

，0）是平面BEC的一个法向量，
设

n

=（x，y，z）是平面DEC的一个法向量
则由

n ⊥ DC n ⊥ DE

得

2y=0 3 2 x+ 3 2 y-z=0

取

n

=（2，0，

3

）
可得：cos＜

n

，

AE

＞=

n • AE

| n |•| AE |

=

3 +0+0

7 × 3

=

1

7

因为D-EC-B的二面角大小为钝角，故其正切值为-

6

．

点评：本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线线垂直，考查二面角正切值的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．