Question

已知函数f（x）=e^x-ax．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，若?x∈R，f（x）≥1，求实数a的取值集合．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,全称命题,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，令f′（x）≥0得e^x≥a，分类讨论：当a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，当a＞0时，再求f（x）的单调区间；
（2）要使f（x）≥1对任意的x∈R恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可得到结论．

解答： （1）解：∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）=e^x-a＞0，恒成立，故f（x）在其定义域内单调递增，
当a＞0时，
令f′（x）=0，解得x=lna，
当f′（x）＞0得x＞lna，f（x）的单调增区间是（lna，+∞），
当f′（x）＜0得x＜lna，f（x）的单调减区间是（-∞，lna），
综上所述：当a≤0时f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；当a＞0时f（x）的单调增区间是（lna，+∞），f（x）的单调减区间是（-∞，lna），
（2）若f（x）≥1对任意的x∈R恒成立，
∴e^x-ax≥1，
即e^x-ax-1≥0，
设g（x）=e^x-ax-1，
∴g（x）≥0，
∴g（x）_min≥0，
由（1）知，可知即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，
f（lna）=e^lna-alna=a-alna
∴g（x）_min=a-alna-1，
设h（a）=a-alna-1，
则h′（a）=1-lna-1=-lna，
由h′（a）=0得a=1，
由h′（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增，
由h′（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减，
∴h（a）在a=1处取得最大值，即h（1）=0，
因此h（a）≥0的解为a=1，
∴a=1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查构造函数证明不等式，正确运用导数是关键．