Question

（1）若等差数列{a_n}的首项为a₁=C

11-2m 5m

-A

2m-2 11-3m

（m∈N^*），公差是（

5

2x

-

2

5

3	x2

）ⁿ展开式中的常数项，其中n为77⁷⁷-15除以19的余数，求数列{a_n}的通项公式．
（2）已知函数f（x）=C

0 n

x^2n-1-C

1 n

x^2n-2+C

2 n

x^2n-3-…+C

r n

（-1）^rx^2n-1-r+…+C

n n

（-1）ⁿx^n-1，n∈N^*，是否存在等差数列{a_n}，使得a₁C

0 n

+a₂C

1 n

+…+a_n+1C

n n

=nf（2）对一切n∈N^*都成立？若存在，求a_n的通项公式，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,排列及排列数公式

专题：二项式定理

分析：（1）由条件求得m=2，可得a₁ 的值．由n为77⁷⁷-15除以19的余数，可得n=5．在（

5

2x

-

2

5

3	x2

）⁵展开式中的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得 r=3，可得展开式的常数项，即等差数列{a_n}的公差，从而求得等差数列的通项公式．
（2）由条件求得 f（2）=2^n-1．再由 a₁C

0 n

+a₂C

1 n

+…+a_n+1C

n n

=nf（2）=n•2^n-1，

C

m n

=

C

n-m n

，可得 a_n+1C

0 n

+a_nC

1 n

+…+a₁C

n n

=nf（2）=n•2^n-1，可得a₁+a_n+1=n．再分别令n=1、n=2，可得公差d和a₁，可得数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）由题意可得

5m≥11-2m 11-3m≥2m-2 m∈N*

，求得m=2，∴a₁=

C

7 10

-

A

2 5

=100．
∴77⁷⁷-15=（1+4×19）⁷⁷-15=

C

0 77

+

C

1 77

（4×19）+

C

2 77

（4×19）²+…+

C

77 77

（4×19）⁷⁷-15，
故77⁷⁷-15除以19的余数即-14除以19的余数5，即n=5．
（

5

2x

-

2

5

3	x2

）⁵展开式中的通项公式为 T_r+1=

C

r 5

•（-1）^r•(

5

2

)5-2r•x

5r-15

3

，
令

5r-15

3

=0，求得 r=3，故展开式的常数项为 T₄=-

C

3 5

•

2

5

=-4，
即等差数列{a_n}的公差为-4，
∴a_n=a₁+（n-1）d=100+（n-1）（-4）=104-4n．
（2）已知函数f（x）=C

0 n

x^2n-1-C

1 n

x^2n-2+C

2 n

x^2n-3-…+C

r n

（-1）^rx^2n-1-r+…+C

n n

（-1）ⁿx^n-1
=x^n-1[

C

0 n

•xⁿ-

C

1 n

•x^n-1+

C

2 n

•x^n-2-…+（-1）^r

C

r n

•x^n-r+…+（-1）ⁿ

C

n n

=x^n-1 •（x-1）ⁿ，
∴f（2）=2^n-1．
再由 a₁C

0 n

+a₂C

1 n

+…+a_n+1C

n n

=nf（2）=n•2^n-1，

C

m n

=

C

n-m n

，
可得 a_n+1C

0 n

+a_nC

1 n

+…+a₁C

n n

=nf（2）=n•2^n-1，
故有 a₁+a_n+1=n．
再令n=1，可得 a₁+a₂=1 a₁+a₃=3，∴公差d=a₃-a₂=1，a₁=0，
∴a_n=0+（n-1）×1=n-1，即 a_n=n-1．

点评：本题主要考查排列数、组合数的计算公式，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．