Question

已知数列{a_n}为递增等差数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根．数列{b_n}为等比数列，且b₁=a₂，b₄=a₅²．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）数列{a_n}为递增等差数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，求出公差，即可求数列{a_n}的通项公式；利用b₁=a₂，b₄=a₅²，可求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法得到前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}为递增等差数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴a₂=3，a₅=9，
∴3d=6，d=2，
∴a_n=3+（n-2）×2=2n-1
又b1=a2，b4=a52，得b₁=3，b₄=81，
∴q=3，bn=3n
（Ⅱ） cn=an•bn=(2n-1)•3n
∴S_n=1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ…①
2S_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹…①
①-②得：-2Sn=1×3+2×32+2×33+…+2×3n-1+2×3n-(2n-1)×3n+1
=3+

2×32×(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)×3n+1=-6-2(n-1)×3n+1
∴Sn=3+(n-1)×3n+1

点评：本题主要考查了等差数列性质及通项公式、求和公式的应用，属于中档题．