Question

如果数列{a_n}中，相邻两项a_n和a_n+1是二次方程x_n²+3nx_n+C_n=0的两个根，当a₁=2时，求{a_n}的通项公式和C₁₀₀的值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据根与系数之间的关系建立递推关系，构造方程组即可得到结论．

解答： 解：∵a_n和a_n+1是二次方程x_n²+3nx_n+C_n=0的两个根，
∴a_n+a_n+1=-3n，①a_na_n+1=C_n，
则a_n+2+a_n+1=-3（n+1）=-3n-3，②，
则②-①得a_n+2-a_n=-3，即当所有的奇数项为等差数列，所有的偶数项为等差数列，公差都为-3，
∵a₁=2，∴a₂=-3-2=-5，
若n是奇数，则a_n=2+（-3）×（

n+1

2

-1）=

7-3n

2

，（此时奇数项的个数为

n+1

2

）
若n是偶数，则a_n=-5+（-3）×（

n

2

-1）=

-3n-4

2

，（此时奇数项的个数为

n

2

）．
故{a_n}的通项公式a_n=

7-3n 2 ， n是奇数 -3n-4 2 n是偶数

．
则C₁₀₀=a₁₀₀a₁₀₁=

-3×100-4

2

×

7-3×101

2

=152×148=22496．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，以及递推数列的应用，构造方程组结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．