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如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=2
2

(1)求证:OM平面ABD;
(2)求证:平面DOM⊥平面ABC;
(3)求三棱锥B-DOM的体积.
(1)∵O为AC的中点,M为BC的中点,∴OMAB.
又∵OM?平面ABD,AB?平面ABD,
∴OM平面ABD.
(2)∵在菱形ABCD中,OD⊥AC,∴在三棱锥B-ACD中,OD⊥AC.
在菱形ABCD中,AB=AD=4,∠BAD=60°,可得BD=4.
∵O为BD的中点,∴DO=
1
2
BD=2.
∵O为AC的中点,M为BC的中点,∴OM=
1
2
AB=2.
因此,OD2+OM2=8=DM2,可得OD⊥OM.
∵AC、OM是平面ABC内的相交直线,
∴OD⊥平面ABC.
∵OD?平面DOM,
∴平面DOM⊥平面ABC.
(3)由(2)得,OD⊥平面BOM,所以OD是三棱锥D-BOM的高.
由OD=2,S△BOM=
1
2
×OB×BM×sin60°=
3

所以VB-DOM=VD-BOM=
1
3
S△BOM=×DO=
1
3
×
3
×2
=
2
3
3

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1
2
AD
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