Question

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=2

2

．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求三棱锥B-DOM的体积．

Answer 1

（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．
又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O为BD的中点，∴DO=

1

2

BD=2．
∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=

1

2

AB=2．
因此，OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．
∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，
∴OD⊥平面ABC．
∵OD?平面DOM，
∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高．
由OD=2，S_△BOM=

1

2

×OB×BM×sin60°=

3

，
所以V_B-DOM=V_D-BOM=

1

3

S_△BOM=×DO=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

．