Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；
（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，
所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．
所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分）
所以NC∥MD，…（3分）
因为NC?平面MFD，所以NC∥平面MFD．…（4分）
（Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．
因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，
所以NE⊥平面ECDF，…（5分）
因为FC?平面ECDF，
所以FC⊥NE．…（6分）
又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．…（7分）
所以FC⊥平面NED，…（8分）
因为ND?平面NED，
所以ND⊥FC．…（9分）
（Ⅲ）设NE=x，则EC=4-x，其中0＜x＜4．
由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为VNFEC=

1

3

S△EFC•NE=

1

2

x(4-x)．…（11分）
所以VNFEC≤

1

2

[

x+(4-x)

2

]2=2．…（13分）
当且仅当x=4-x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大．…（14分）