Question

【题目】如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点． （I）求证：BE∥平面ACF；
（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角．

Answer 1

【答案】解：（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点．

因为F为DE的中点，所以OF∥BE．

因为BE平面ACF，OF平面AFC，

所以BE∥平面ACF．

（II）因为AE⊥平面CDE，CD平面CDE，

所以AE⊥CD．

因为ABCD为正方形，所以CD⊥AD．

因为AE∩AD=A，AD，AE平面DAE，

所以CD⊥平面DAE．

因为DE平面DAE，所以DE⊥CD．

所以以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）．

因为AE⊥平面CDE，DE平面CDE，

所以AE⊥CD．

因为AE=DE=2，所以 ．

因为四边形ABCD为正方形，

所以 ，

所以 ．

由四边形ABCD为正方形，

得 = =（2，2 ，2），

所以 ．

设平面BEF的一个法向量为 =（x1，y1，z1），又知 =（0，﹣2 ，﹣2）， =（1，0，0），

由 ，可得 ，

令y1=1，得 ，

所以 ．

设平面BCF的一个法向量为 =（x2，y2，z2），又知 =（﹣2，0，﹣2）， =（1，﹣2 ，0），

由 ，即： ．

令y2=1，得 ，

所以 ．

设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，

又cos = = = ．

则 ．

所以平面BCF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．（II）以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面BEF的一个法向量，平面BCF的一个法向量，设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，利用数量积求解即可．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．