Question

【题目】已知双曲线 的两个焦点为 的曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为 ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为 （0＜a2＜4），

将点（3， ）代入上式，得 ．解得a2=18（舍去）或a2=2，

故所求双曲线方程为 ．

（Ⅱ）：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈（﹣ ）∪（1， ）．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得x1+x2= ，x1x2=﹣ ，

于是，|EF|=

=

而原点O到直线l的距离d= ，

∴S△OEF= ．

若S△OEF= ，即 ，解得k=± ，

满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y= 和

【解析】（1）根据题意可得a2+b2=4，得到a和b的关系，把点（3， ）代入双曲线方程，求得a，进而根据a2+b2=4求得b，双曲线方程可得．（2）可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，根据直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，进而可得k的范围，设E（x1，y1），F（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而表示出|EF|和原点O到直线l的距离根据三角形OEF的面积求得k，进而可得直线方程．