Question

15．等差数列{a_n}中，d＜0．
（1）若|a₃|=|a₉|，则数列{a_n}的前几项的和最大？
（2）若S_m=S_k，则数列{a_n}的前几项的和最大？

Answer 1

分析 （1）由题意：d＜0，|a₃|=|a₉|，得：a₃=-a₉．
（2）需要对m和k的值进行讨论．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}中，d＜0，且|a₃|=|a₉|，可得a₁+a₁₁=a₃+a₉=0，
∴${s}_{11}=\frac{11（{a}_{1}+{a}_{11}）}{2}=\frac{11（{a}_{3}+{a}_{9}）}{2}=0$，
由于等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数，它的图象开口向下，对称轴为n=5.5，
和横轴有2个交点（0，0）、（11，0），如图所示：
所以当n=5或n=6时S_n取最大值．
（2）不妨设 m＜k，由Sm=Sk可得：a_m+1+…+a_k=0，
分两种情况讨论：
①若m，k同为奇数，则$\frac{[（m+1+k）-1]}{2}和\frac{[（m+1+k）+1]}{2}$是两个连续整数．
由于$\frac{[（m+1+k）-1]}{2}+\frac{[（m+1+k）+1]}{2}=m+1+k$，
从而${a}_{\frac{[（m+1+k）-1]}{2}}+{a}_{\frac{[（m+1+k）+1]}{2}}={a}_{（m+1）}+{a}_{k}=0$，
又d＜0，{a_n}是递减的，
从而${a}_{\frac{[（m+1+k）-1]}{2}}＞0＞{a}_{\frac{[（m+1+k）+1]}{2}}$，
故前$\frac{[（m+1+k）-1]}{2}$项和最大．
②若m，k一奇一偶，则$\frac{（m+1+k）}{2}$为整数，
于是${a}_{（m+1）}+{a}_{k}=2\frac{{a}_{（m+1+k）}}{2}=0$，
此时，前$\frac{（m-1+k）}{2}与\frac{（m+1+k）}{2}$项的和相等且最大．
故前$\frac{（m-1+k）}{2}与\frac{（m+1+k）}{2}$项的和最大．

点评 等差数列的前n项和是一个常数项为零的二次函数形式，所以具有对称性，根据对称性可轻松解决此类问题．