【题目】设,函数
.
(1)若无零点,求实数
的取值范围.
(2)若,证明:
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调性及值域,确定a的范围即可;
(2)问题转化为证明ex﹣2x2+x﹣1>0(x>0)恒成立,令g(x)=ex﹣2x2+x﹣1>0,(x>0),求导分析函数的单调性及最值,证明即可.
(1)∵,∴
定义域是
又
,
①当时,无零点;
②当时,
,故
在
上为减函数,
又当
时,
,所以
有唯一的零点;
③当时,
∴在
递增,在
递减,
∴,则只要
,即
,
∴而
,∴
,
综上所述:所求的范围是
.
(2)时,
,
,
要证,问题转化为证明
,
整理得:恒成立,
令,
,
故在
递减,在
递增,
故,
故存在,
使得,
故当或
时,
递增,
当时,
递减,
故的最小值是
或
,
由,得
,
,
∵,故
,
故时,
,原不等式成立.
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【题目】某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图:
则下列结论正确的是
A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比,2018年二本达线人数增加了倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加
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【题目】已知抛物线上一点
到焦点
的距离
,倾斜角为
的直线经过焦点
,且与抛物线交于两点
、
.
(1)求抛物线的标准方程及准线方程;
(2)若为锐角,作线段
的中垂线
交
轴于点
.证明:
为定值,并求出该定值.
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【题目】定义:曲线称为椭圆
的“倒椭圆”.已知椭圆
,它的“倒椭圆”
.
(1)写出“倒椭圆”的一条对称轴、一个对称中心;并写出其上动点横坐标x的取值范围.
(2)过“倒椭圆”上的点P,作直线PA垂直于x轴且垂足为点A,作直线PB垂直于y轴且垂足为点B,求证:直线AB与椭圆
只有一个公共点.
(3)是否存在直线l与椭圆无公共点,且与“倒椭圆”
无公共点?若存在,请给出满足条件的直线l,并说明理由;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程与直线
的直角坐标方程;
(2)已知直线与曲线
交于
两点,与
轴交于点
,求
.
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【题目】过圆锥轴的截面为等腰直角三角形,
为底面圆周上一点,已知
,圆锥体积为
,点
为底面圆的圆心
(1)求该圆锥的全面积
(2)求异面直线与
所成角的大小(结果用反三角函数表示)
(3)求点到平面
的距离
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【题目】如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点,现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC,则二面角D﹣AF﹣B的平面角余弦值的取值范围是_____.
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