Question

如图,已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是AB和BC的中点,试问在棱DD₁上能否找到一点M,使BM⊥平面B₁EF?若能,试确定点M的位置;若不能,请说明理由.

Answer 1

思路解析：这是一道探索性问题，可从假设结论成立入手去分析.我们考虑如果BM⊥平面B₁EF时,点M应该满足使BM⊥B₁E,即其在平面A₁B上的射影BP应该满足BP⊥B₁E,经计算,不难得到点M应为DD₁的中点.

证明：如下图,取DD₁的中点M,AA₁的中点P,CC₁的中点Q.

连结MP、MQ、BP、BQ,易证得MP⊥面ABB₁A₁,

∴MP⊥B₁E.

又由平面几何知BP⊥B₁E,∴B₁E⊥平面MBP.

∴B₁E⊥MB.

同理可得BM⊥B₁F.

又B₁E∩B₁F=B₁,∴BM⊥平面B₁EF.

方法归纳  在空间几何中证线面垂直常用的方法有：

(1)由线面垂直证线线垂直；(2)由三垂线定理及其逆定理证线线垂直.

巧解提示  由于本题中涉及面的垂线、斜线及斜线在面内的射影，所以可用三垂线定理去证明.

证明：如图，取DD₁的中点M，AA₁的中点P,CC₁的中点Q.

连结MP,MQ,BP,BQ,易证MP⊥面ABB₁A₁，由平面几何知识知BP⊥B₁Q,

∴B₁E⊥BM.

同理可得BM⊥B₁F.

又∵B₁E∩B₁F=B,∴BM⊥平面B₁EF.