Question

已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q-1}，集合A={x|x=x₁+x₂q+…+x_nq^n-1，x_i∈M，i=1，2，…n}．
（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a₁+a₂q+…+a_nq^n-1，t=b₁+b₂q+…+b_nq^n-1，其中a_i，b_i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a_n＜b_n，则s＜t．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x_i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．
（Ⅱ）由于a_i，b_i∈M，i=1，2，…，n．a_n＜b_n，可得a_n-b_n≤-1．
由题意可得s-t=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤-[1+q+…+q^n-2+q^n-1]，
再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （Ⅰ）解：当q=2，n=3时，
M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x_i∈M，i=1，2，3}．
可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．
（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a₁+a₂q+…+a_nq^n-1，t=b₁+b₂q+…+b_nq^n-1，其中a_i，b_i∈M，i=1，2，…，n．a_n＜b_n，∴a_n-b_n≤-1．
可得s-t=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1
≤-[1+q+…+q^n-2+q^n-1]
=-

qn-1

q-1

＜0．
∴s＜t．

点评：本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．