Question

已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．

解答： 解：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，
由题意可得：点S到F（0，1）的距离与它到直线y=-1的距离相等，
曲线Γ是以F为焦点直线y=-1为准线的抛物线，
∴曲线Γ的方程为：x²=4y．
（Ⅱ）当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变，
证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=

1

4

x2，
设P（x₀，y₀）（x₀≠0）则y₀=

1

4

x02，
由y′=

1

2

x得切线l的斜率k=y′

|

x=x0

=

1

2

x0
∴切线l的方程为：y-y0=

1

2

x0(x-x0)，即y=

1

2

x0x-

1

4

x02．
由

y= 1 2 x0x- 1 4 x02 y=0

得A(

1

2

x0，0)，
由

y= 1 2 x0x- 1 4 x02 y=3

得M(

1

2

x0+

6

x0

，3)，
又N（0，3），
所以圆心C（

1

4

x0+

3

x0

，3），半径r=

1

2

|MN|=|

1

4

x0+

3

x0

||AB|=

|AC|2-r2

=

[ 1 2 x0-( 1 4 x0+ 3 x0 )]2+32-( 1 4 x0+ 3 x0 )2

=

6

∴点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大．