Question

设函数f（x）=丨x+1丨+丨x-2丨-m．
（Ⅰ）当m=5时，求f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当m=5时，把不等式转化为与之等价的三个不等式组，求得美俄不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意可得丨x+1丨+丨x-2丨-m的最小值大于或等于2，由绝对值三角不等式可得丨x+1丨+丨x-2丨-m的最小值为3，可得3-m≥2，从而求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当m=5时，函数f（x）=丨x+1丨+丨x-2丨-5，
由f（x）＞0可得

x≥2 x+1+x-2-5＞0

 ①，或  

-1≤x＜2 x+1-x+2-5＞0

，或 ②

x＜-1 -x-1-x+2-5＞0

．
解①求得 x＞3，解②求得x∈∅，解③求得x＜-2．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，即 丨x+1丨+丨x-2丨≥2+m 的解集为R．
而丨x+1丨+丨x-2丨≥|（x+1）-（x-2）|=3，
故有 3≥2+m，即 m≤1，
故m的范围为（-∞，1]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．