Question

已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求

a+1

+

b+1

+

c+1

的最大值．

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式

分析：根据柯西不等式（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃）²≤（x₁²+x₂²+x₃²）（y₁²+y₂²+y₃²），将原式进行配凑并结合已知条件a+b+c=1加以计算，即可得到

a+1

+

b+1

+

c+1

的最大值．

解答： 解：因为a、b、c＞0，
所以（

a+1

+

b+1

+

c+1

）²=（

a+1

•1+

b+1

•1+

c+1

•1）²
≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，…3分
于是

a+1

+

b+1

+

c+1

≤2

3

，
当且仅当

a+1

=

b+1

=

c+1

，即a=b=c=

1

3

时，取“=”．
所以，

a+1

+

b+1

+

c+1

的最大值为2

3

…10分．

点评：本题给出三个正数满足a+b+c=1，求

a+1

+

b+1

+

c+1

的最大值．考查了利用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．