Question

函数f（x）=ax²+4ex-2lnx，其中a∈R，无理数e≈2.71828…是自然对数的底数，且已知f（x）存在最大值．
（1）求a的取值范围，并求出此时的极大值点；
（2）设函数g（x）=e^x-e^-x-（2e+1）x，若对任意λ，μ∈R，且λ+μ＞0，恒有g（λ）+g（μ）＞a（λ+μ）成立，设此时f（x）的极大值为M，求证5＜M≤2e+1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，利用函数存在最大值，建立条件关系，即可求a的取值范围，并求出此时的极大值点；
（2）构造函数，利用函数单调性，极值和导数之间的关系，即可证明不等式．

解答： 解：（1）f′（x）=

2(ax2+2ex-1)

x

（x＞0）
①当a≥0时，方程2ax²+2x-1=0的正实根是x₀=

-e+ e2+a

a

（a＞0）或

1

2e

（a=0），f（x）在（0，x₀）单减，（x₀，+∞）单增
此时f（x）不存在极大值
②当-e²＜a＜0时，方程ax²+2ex-1=0有两个的正实根是x₁=

-e+ e2+a

a

和x₂=

-e- e2+a

a

（明显x₁＜x₂）
此时f（x）在（0，x₁）单减，（x₁，x₂）单增，（x₂，+∞）单减⇒x₂是极大值点
③当a≤-e²时，f（x）在（0，+∞）单减，故此时f（x）不存在极大值
综上，f（x）存在极大值时，a∈（-e²，0），且此时极大值点为

-e- e2+a

a

，
（2）首先注意g（x）+g（-x）=0⇒g（x）是奇函数，λ+μ＞0⇒λ＞-μ
此时g（λ）+g（μ）＞a（λ+μ）?g（λ）-aλ＞g（-μ）-a（-μ）（λ＞-μ）
设G（x）=g（x）-ax=e^x-e^-x-（2e+1+a）x（x∈R），则上述不等式?G（x）是R上的增函数
据G′（x）=e^x+e^-x-2e-1-a，则对任意x∈R，恒有G′（x）≥0即a≤e^x+e^-x-2e-1成立
又e^x+e^-x-2e-1≥2

ex?e-x

-2e-1=1-2e，故a≤（e^x+e^-x-2e-1）_min=1-2e
结合（1）的结论知a∈（-e²，1-2e]
据（1）中的②知x₁，x₂（0＜x₁＜x₂）是方程ax²+2ex-1=0?a=

1-2ex

x2

的两个实根
据-e²＜a≤1-2e⇒-e²＜

1-2ex

x2

≤1-2e⇒x∈[

1

1-2e

，

1

e

）∪（

1

e

，1]
上面的x可以x₁也可以是x₂，注意0＜x₁＜x₂，故极大值点x₂∈（

1

e

，1]，此时a=

1-2ex2

x22

故M=f（x₂）=ax₂²+4ex₂-2lnx₂=

1-2ex2

x22

?x₂²+4ex₂-2lnx₂=2ex₂+1-2lnx₂，x₂∈（

1

e

，1]
设F（x）=2ex+1-2lnx，x∈（

1

e

，1]
此时F′（x）=

2(ex-1)

x

＞0⇒F（x）在（

1

e

，1]上单增⇒F（

1

e

）＜F（x）≤F（1）
注意到F（

1

e

）=5；F（1）=2e+1⇒5＜M≤2e+1．

点评：本题主要考查函数的性质和导数之间的关系，要求熟练掌握函数的导数应用，考查学生的计算能力，运算量较大，难度较大．