Question

如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．
（1）求出r与h满足的关系式；
（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时

h

r

的值．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：导数的综合应用,空间位置关系与距离

分析：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=

1

3

πr2h，进而由圆锥纸筒的容积为π，得到r与h满足的关系式；
（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，求出圆锥侧面积的表达式，利用导数法，求出h=

3	6

时S最小，进而得到答案．

解答： 解：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=

1

3

πr2h，
由该圆锥纸筒的容积为π，则

1

3

πr2h=π，即r²h=3，
故r与h满足的关系式为r²h=3；                                …（4分）
（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，
设该纸筒的侧面积为S，则S=πrl，其中l为圆锥的母线长，且l=

r2+h2

，
所以S=πr

r2+h2

=π

(r2+h2)r2

=π

( 3 h +h2) 3 h

=π

9 h2 +3h

，（h＞0 ），…（8分）
设f（h）=

9

h2

+3h （h＞0 ），
由f′（h）=-

18

h3

+3=0，解得h=

3	6

，
当0＜h＜

3	6

时，f′（h）＜0；当h＞

3	6

时，f′（h）＞0；
因此，h=

3	6

时f（h）取得极小值，且是最小值，此时S亦最小；…（12分）
由r²h=3得

h

r

=

h2 r2

=

h3 3

=

6 3

=

2

，
所以最省时

h

r

的值为

2

．                                                                …（14分）

点评：本题考查的知识点是旋转体，导数法求函数的最值，是立体几何与导数的综合应用，难度中档．