Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x-2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜

2

＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：压轴题,导数的综合应用

分析：对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；
对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；
对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用

2

的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算g(ln

2

)，最后可估计ln2的近似值．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e^x+e^-x-2≥2

ex•e-x

-2=0，
即f′（x）≥0，当且仅当e^x=e^-x即x=0时，f′（x）=0，
∴函数f（x）在R上为增函数．

（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，
则g′（x）=2[e^2x+e^-2x-2b（e^x+e^-x）+（4b-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2b（e^x+e^-x）+（4b-4）]
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x+2-2b）．
①∵e^x+e^-x≥2，e^x+e^-x+2≥4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
②当b＞2时，若x满足2＜e^x+e^-x＜2b-2即

2＜ex+e-x ex+e-x＜2b-2

，得0＜x＜ln(b-1+

b2-2b

)，此时，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，当0＜x≤ln(b-1+

b2-2b

)时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．

（Ⅲ）∵1.4142＜

2

＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，
为了凑配ln2，并利用

2

的近似值，故将ln

2

即

1

2

ln2代入g（x）的解析式中，
得g(ln

2

)=

3

2

-2

2

b+2(2b-1)ln2．
当b=2时，由g（x）＞0，得g(ln

2

)=

3

2

-4

2

+6ln2＞0，
从而ln2＞

8 2 -3

12

＞

8×1.4142-3

12

=0.6928；
令ln(b-1+

b2-2b

)=ln

2

，得b=

3 2

4

+1＞2，当0＜x≤ln(b-1+

b2-2b

)时，
由g（x）＜0，得g(ln

2

)=-

3

2

-2

2

+(3

2

+2)ln2＜0，得ln2＜

18+ 2

28

＜

18+1.4143

28

＜0.6934．
所以ln2的近似值为0.693．

点评：1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．
2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．
3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为

2

的范围的端点值，达到了估值的目的．