Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点为A，B，离心率为

3

2

，过左焦点垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点P是圆x²+y²=4上一动点，且在x轴上方，连接PA交椭圆E于点D，已知点C（1，0），设直线PB，DC的斜率分别为k₁，k₂，且k₁=λk₂，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得

c a = 3 2 2b2 a =1 a2=b2+c2

，解出a，b，c即可．
（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点与椭圆的关系即可得出．

解答： 解：（1）由题意可得

c a = 3 2 2b2 a =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，c=

3

．
故椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设D（x₁，y₁），则k2=

y1

x1-1

，k_PA=k_DA=

y1

x1+2

，
又PA⊥PB，∴k1=-

x1+2

y1

．
又

y

2 1

=1-

x 2 1

4

，
∴λ=

k1

k2

=-

x1+2

y1

×

x1-1

y1

=-

(x1+2)(x1-1)

1- x 2 1 4

=

4(x1-1)

x1-2

=4(1+

1

x1-2

)，
由x₁∈（-2，2）得λ＜3且λ≠0，
故λ的取值范围是（-∞，0）∪（0，3）．

点评：本题考查了椭圆与的标准方程及其性质、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．