Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且AB=4AF．
（1）求证：EF∥平面BDC₁；
（2）求证：BC₁⊥平面B₁CE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AB的中点M，因为AB=4AF，所以F为AM的中点，进而根据三角形中位线定理，及平行四边形的性质得到EF∥BD，进而由线面平行的判定定理，得到EF∥平面BDC₁；
（2）连接CE，B₁E，B₁C，根据等边三角形三线合一及直棱柱的几何特征，结合面面垂直的判定定理，可得C₁D⊥B₁E，进而四边形ABB₁A₁为正方形，BD⊥B₁E，进而可得B₁E⊥面C₁DB，即BC₁⊥B₁E，又因为在正方形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C，结合线面垂直的判定定理可得BC₁⊥面B₁CE．

解答： 证明：（1）取AB的中点M，
因为AB=4AF，
所以F为AM的中点，
又因为E为AA₁的中点，
所以EF∥A₁M，…（2分）
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别为A₁B₁，AB的中点，

所以A₁D∥BM，且A₁D=BM，
则四边形A₁DBM为平行四边形，
所以A₁M∥BD，
所以EF∥BD，…（5分）
又因为BD?平面BDC₁，EF?平面BDC₁，
所以，EF∥平面BDC₁ …（7分）
（2）连接CE，B₁E，B₁C，
因为在正三角A₁B₁C₁中，D为A₁B₁的中点，
所以，C₁D⊥A₁B₁，
所以，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁D⊥面ABB₁A₁，
所以，C₁D⊥B₁E，
因为AA₁=AB，
所以，四边形ABB₁A₁为正方形，由D，E分别为A₁B₁，AA₁的中点，
所以，可证得BD⊥B₁E，

所以，B₁E⊥面C₁DB，即BC₁⊥B₁E，…（11分）
又因为在正方形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C，所以BC₁⊥面B₁CE，…（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理和性质定理，难度不大，属于中档题．