Question

方程x|x|+y|y|=1的曲线为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x）有如下结论：
①函数y=f（x）在R上单调递减；
②函数y=f（x）的值域为[-1，1]；
③函数y=f（x）的图象关于函数y=x对称；
④函数y=g（x）和y=f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程x|x|-y|y|=1表示的曲线．
其中正确的结论是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给的命题的真假性．

解答： 解：（1）x≥0，y≥0，x²+y²=1
此为圆心在原点，半径为1的圆在第1象限的部分，减函数
（2）x≥0，y＜0，x²-y²=1
此为a=b=1，实轴为x轴的双曲线在第4象限的部分，减函数
（3）x＜0，y≥0，y²-x²=1
此为a=b=1，实轴为y轴的双曲线在第2象限的部分，减函数
（4）x＜0，y＜0，不存在
根据上述情况作出相应的图象，如图所示，

由图象可知，①③正确②④错误．
故正确的结论是①③．
故答案为：①③

点评：本题主要考查了含有绝对值的函数的图象，以及有关圆锥曲线的问题，利用了数形结合的思想，属于中档题．