Question

已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x²=4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，

PF

=3

FM

，
（Ⅰ）若|PF|=3，求点M的坐标；
（Ⅱ）求△ABP面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义，利用条件|PF|=3，求建立方程关系即可求点M的坐标；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式，利用导数即可求出三角形面积的最值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知焦点F（0，1），准线方程为y=-1，
设P（x₀，y₀），由抛物线的定义可知|PF|=y₀+1，解得y₀=2，
∴x₀=±2

2

，即P（2

2

，2）或P（-2

2

，2），
由

PF

=3

FM

，得M（-

2 2

3

，

2

3

）或M（

2 2

3

，

2

3

）．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2=4y

得x²-4kx-4m=0，
于是△=16k²+16m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
即AB的中点M的坐标为（2k，2k²+m）
由

PF

=3

FM

，得（-x₀，1-y₀）=3（2k，2k²+m-1），
解得

x0=-6k y0=4-6k2-3m

，由

x

2 0

=4y0，得k²=-

1

5

m+

4

15

，
由△＞0，k＞0得-

1

3

＜m≤

4

3

，
又∵|AB|=4

1+k2

•

k2+m

，
点F到直线AB的距离d=

|m-1|

1+k2

，
∴S_△ABP=4S_△ABF=8|m-1|•

k2+m

=

16

15

3m3-5m2+m+1

，
设f（m）=3m³-5m²+m+1，（-

1

3

＜m≤

4

3

），
则f'（m）=9m²-10m+1=0，解得m₁=

1

9

，m₂=1，
于是f（m）在（-

1

3

，

1

9

）是增函数，在（

1

9

，1）上是减函数，在（1，

4

3

）上是增函数，
又f（

1

9

）=

256

243

＞f(

4

3

)，
∴当m=

1

9

时，f（m）取得最大值

256

243

，此时k=±

55

15

，
∴△ABP面积的最大值为

256 5

135

．

点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线和抛物线的位置关系，三角形面积公式，平面向量等基础知识，同时也考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．运算量大，综合性强，难度较大．