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已知函数已知幂函数为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,又f(x)=sinx+mcosx,F(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1,f′(x)是f(x)的导函数.
(I)若,求F(x)的值;
(Ⅱ)把F(x)图象的横坐标缩小为原来的一半后得到H(x),求H(x)的单调减区间.
【答案】分析:(I)利用幂函数为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,确定m的值.再求导,即可求得F(x)的值;
(Ⅱ)先确定H(x)的解析式,再利用余弦函数的单调性,即可求得H(x)的单调减区间.
解答:解:(I)幂函数为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数
∴-m2+2m+3>0,∴-1<m<3,
又m∈Z,函数f(x)为偶函数,故m=1….(3分)
∴f(x)=sinx+cosx,f'(x)=cosx-sinx
∴F(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1=2(cosx-sinx)cosx-1=cos2x-sin2x=
,F(x)=.…(6分)
(Ⅱ)由(I)知:F(x)=cos2x-sin2x=,∴
得:
∴H(x)的单调减区间为…(12分)
点评:本题考查幂函数,考查导数知识的运用,考查三角函数的化简,考查函数的单调性,考查学生的计算能力,属于中档题.
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178
]
.若存在,求出此q值;若不存在,请说明理由.

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1
2
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