Question

17．已知函数f（x）=sinx+1
（1）已知$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，且$sinα=\frac{1}{3}$，$cosβ=\frac{1}{5}$，求f（α+β）的值；
（2）求函数$y=f（x）•f（\frac{π}{2}-x）$的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先，根据已知条件，得到cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinβ=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，然后，根据两角和的正弦公式求解即可；
（2）首先，化简函数解析式，然后，令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，转化成二次函数问题的最值问题进行求解．

解答 解：（1）∵$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，且$sinα=\frac{1}{3}$，$cosβ=\frac{1}{5}$，
∴cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinβ=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴f（α+β）=sin（α+β）+1
=sinαcosβ+cosαsinβ+1=$\frac{16+8\sqrt{3}}{15}$．
（2）y=f（x）•f（$\frac{π}{2}$-x）
=（sinx+1）（cosx+1）
=sinxcosx+sinx+cosx+1
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$，
∴y_max=$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$

点评 本题重点考查了三角公式、三角恒等变换、辅助角公式等知识，属于中档题．