Question

12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=-f（x），若$f（\frac{1}{2}）=0$，则方程f（x）=0在区间（0，4）内解的个数的最小值是（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，结合函数周期性，即可得到结论．

解答 解：∵f（x）是偶函数，且若$f（\frac{1}{2}）=0$，
∴若f（-$\frac{1}{2}$）=$f（\frac{1}{2}）=0$，
∵f（x+2）=-f（x），
∴函数f（x+4）=f（x），
则f（-$\frac{1}{2}$+4）=f（$\frac{7}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴f（$\frac{1}{2}+2$）=-f（$\frac{1}{2}$）=0，
即f（$\frac{5}{2}$）=0，f（-$\frac{1}{2}+2$）=-f（-$\frac{1}{2}$）=0，
即f（$\frac{3}{2}$）=0，
f（$\frac{3}{2}$+2）=-f（$\frac{3}{2}$）=0，即f（$\frac{5}{2}$）=0，
则f（-$\frac{5}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$）=0，
则在区间（0，4）内，
有f（$\frac{1}{2}$）=0，f（$\frac{3}{2}$）=0，f（$\frac{5}{2}$）=0，f（$\frac{7}{2}$）=0，
故至少有4个根，
故选：C

点评 本题主要考查函数根的格式的判断，根据函数奇偶性和周期性之间的关系进行递推是解决本题的关键．