Question

7．如图，△PAD为边长为2的等边三角形，ABCD为菱形，∠DAB=60°，E为AD的中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为棱PC上一点，
（1）证明：平面PAD⊥平面BEF；
（2）若PA∥平面BEF，求三棱锥E-BCF的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理可求BE，利用勾股定理可知BE⊥AE，由平面PAD⊥平面ABCD可证BE⊥平面PAD，进而可得平面PAD⊥平面BEF；
（2）连接AC，交BE于O，连接FO，PE，由已知PA∥平面BEF，可得：$\frac{CF}{PF}$=$\frac{CO}{AO}$=$\frac{CB}{AE}$=2，即$\frac{CF}{PC}$=$\frac{2}{3}$，进而求出棱锥的底面和高，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答 证明：（1）E是AD中点，连接PE，
∴AB=2，AE=1
∴BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cos∠BAD
=4+1-2×2×1×cos60°=3
∴AE²+BE²=1+3=4=AB²，
∴BE⊥AE，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BE?平面ABCD，
∴BE⊥平面PAD，
又∵BE?平面BEF，
∴平面PAD⊥平面BEF；
解：（2）连接AC，交BE于O，连接FO，PE，

∵PA∥平面BEF，平面PAC∩平面PEF=FO，
∴PA∥FO，
则$\frac{CF}{PF}$=$\frac{CO}{AO}$=$\frac{CB}{AE}$=2，
∴$\frac{CF}{PC}$=$\frac{2}{3}$，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，
设F到平面ABCD的距离为h，
则h=$\frac{2}{3}$PE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴三棱锥E-BCF的体积V=$\frac{1}{3}$S_△BCEh=$\frac{2}{3}$

点评 本题主要考查了直线与平面平行的性质定理，及直线与平面垂直的判定定理的应用，体现了线面关系与面面关系的相互转化．