Question

10．求下列函数的解析式：
（1）f（x+1）=x²+2x；
（2）f（x）为二次函数且f（0）=3，f（x+2）-f（x）=4x+2；
（3）已知x≠0时，函数f（x）满足f（$\frac{x-1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；
（4）已知f（x）满足2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求解函数的解析式即可．
（2）设出二次函数求解函数的解析式即可．
（3）利用换元法求解函数的解析式即可．
（4）利用方程组的思想，求解函数的解析式．

解答 解：（1）f（x+1）=x²+2x=（x+1）²-1；
∴f（x）=x²-1．
（2）f（x）为二次函数且f（0）=3，设f（x）=ax²+bx+3，
∵f（x+2）-f（x）=4x+2；
∴a（x+2）²+b（x+2）+3-（ax²+bx+3）=4x+2，
解得a=1，b=-1，
函数的解析式为：f（x）=x²-x+3．
（3）已知x≠0时，函数f（x）满足f（$\frac{x-1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；
设$\frac{x-1}{x}=t$，t≠1可得1-$\frac{1}{x}=t$，即$\frac{1}{x}=1-t$，可得x=$\frac{1}{1-t}$，
f（t）=$（{\frac{1}{1-t}）}^{2}+（1-t）^{2}$，
∴f（x）=${（\frac{1}{1-x}）}^{2}+{（1-x）}^{2}$，x≠1．
（4）已知f（x）满足2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x…①，
2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{3}{x}$…②，
2×①-②可得：3f（x）=6x-$\frac{3}{x}$，
解得f（x）=2x-$\frac{1}{x}$．

点评 本题考查函数的解析式的求法，换元法以及配方法，方程组的思想的应用，考查计算能力．