Question

2．直线y=kx+1与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且|AB|=$\sqrt{3}$，则实数k的值等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 1
• C． $\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$
• D． 1或-1

Answer 1

分析 由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=kx+1的距离d，再由弦AB的长及圆的半径，利用垂径定理及勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答 解：由圆x²+y²=1，得到圆心（0，0），半径r=1，
∵圆心到直线y=kx+1的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，|AB|=$\sqrt{3}$，
∴|AB|=2r$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，即|AB|²=4（r²-d²），
∴3=4（1-$\frac{1}{{k}^{2}+1}$），解得：k=$±\sqrt{3}$．
故选C．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．