Question

12．已知{a_n}是等比数列，a₂=2且公比q＞0，-2，a₁，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）已知b_n=a_na_n+2-λna_n+1（n=1，2，3，…），设S_n是数列{b_n}的前n项和．若S₁＞S₂，且S_k＜S_k+1（k=2，3，4，…），求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由-2，a₁，a₃成等差数列，可知2×$\frac{{a}_{2}}{q}$=（-2）+a₂q，由a₂=2，代入求得q的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=2^n-1，b_n=a_na_n+2-λna_n+1=4ⁿ-λn2ⁿ，由S₁＞S₂，代入求得λ＞2，由S_k＜S_k+1（k=2，3，4，…）恒成立，可知λ＜$\frac{{2}^{k+1}}{k+1}$，构造数列c_k=$\frac{{2}^{k+1}}{k+1}$，作差法求得数列{c_n}的最小值，即可求得λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由-2，a₁，a₃成等差数列，
∴2a₁=-2+a₃，
∵{a_n}是等比数列，a₂=2，q＞0，
∴a₃=2q，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{2}{q}$，
代入整理得：q²-q-2=0，解得：q=2，q=-1（舍去），
∴q=2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=2^n-1，
b_n=a_na_n+2-λna_n+1=4ⁿ-λn2ⁿ，
由S₁＞S₂，
∴S₂-S₁＜0，即b₂＜0，
∴4²-2λ•2²＜0，解得：λ＞2，
S_k＜S_k+1（k=2，3，4，…）恒成立，
b_n=a_na_n+2-λna_n+1，即λ＜$\frac{{2}^{k+1}}{k+1}$，
设c_k=$\frac{{2}^{k+1}}{k+1}$（k≥2，k∈N*），只需要λ＜（c_k）_min（k≥2，k∈N*）即可，
∵$\frac{{c}_{k+1}}{{c}_{k}}$=$\frac{{2}^{k+2}}{k+2}$×$\frac{{2}^{k+1}}{k+1}$=$\frac{k+（k+2）}{k+2}$＞1，
∴数列{c_n}在k≥2且k∈N*上单调递增，
∴（c_k）_min=c₂=$\frac{{2}^{3}}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴λ＜$\frac{8}{3}$，
∵λ＞2，
∴λ∈（2，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查等差数列的性质，等比数列通项公式，考查数列与不等式结合，作差法求数列的单调性即最值，考查计算能力，属于中档题．